Rumus dan Sifat Logaritma ~ Awal Rifqi

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.

Rumus dasar logaritma:

b^c= a ditulis sebagai ^blog a = c (b disebut basis)

Beberapa orang menuliskan ^blog a = c sebagai log_ba = c

Sifat-Sifat Logaritma:

$\\(1)\ ^a\log (b\times c)=^a\log b+^a\log c\\\\ (2)\ ^a\log \left(\frac{b}{c}\right)=^a\log b-^a\log c\\\\ (3.a)\ ^{a^n}\log b^m=\frac{m}{n}\ ^a\log b\\\\ (3.b)\ ^a\log b^m=m\ ^a\log b\\\\ (3.c)\ ^{a^n}\log b=\frac{1}{n}\ ^a\log b\\\\ (3.d)\ ^{a^n}\log b^n=^a\log b\\\\ (4.a)\ ^a\log b=\frac{^p\log b}{^p\log a}\\\\ (4.b)\ ^a\log b=\frac{1}{^b\log a}\\\\ (5)\ ^a\log b\times ^b\log c=^a\log c\\\\ (6)\ a^{^a\log b}=b$

Contoh Soal :
$\\\bullet 2\ ^6\log 16-3\ ^6\log 4+^6\log9\\ Penyelesaian:\\ \begin{align*} 2\ ^6\log 16-3\ ^6\log 4+^6\log9 &=^6\log 16^2-^6\log 4^3+^6\log9 \\ &=^6\log\left(\frac{16^2}{4^3} \right )+^6\log 9 \\ &=^6\log \left(\frac{16^2}{4^3}\times 9\right) \\ &=^6\log 36 \\ &=^6\log 6^2=2\times ^6\log 6=2 \end{align*}$

$\\\bullet ^2\log 25\times ^5\log 3\times ^9\log 32\\ Penyelesaian:\\ \begin{align*} ^2\log 25\times ^5\log 3\times ^9\log 32&=^2\log 5^2\times ^5\log 3\times ^{3^2}\log 2^5 \\ &=2\ ^2\log 5\times ^5\log 3\times \frac12\ ^3\log 32 \\ &=2\times\frac12\times^2\log 5\times ^5\log 3\times ^3\log 32 \\ &=^2\log 32 \\ &=^2\log 2^5=5\times ^2\log 2=5 \end{align*}$

$\\\bullet 9^{^3\log 5}\\ Penyelesaian\\ \begin{align*} 9^{^3\log 5}&=(3^2)^{^3\log 5} \\ &=3^{2\times ^3\log 5} \\ &=3^{^3\log 5^2} \\ &=3^{^3\log 25} \\ &=25 \end{align*}$

$\\\bullet Jika\ \log 2=p\ dan\ \log3=q,\ maka\ \log\left(\frac94 \right )\ sama\ dengan...\\ Penyelesaian:\\ \begin{align*} \log\left(\frac94 \right )&=\log 9-\log 4 \\ &=\log 3^2-\log 2^2 \\ &=2\log 3-2\log 2 \\ &=2q-2p \\ &=2(q-p) \end{align*}$

$\\\bullet Jika\ ^3\log 2=m\ dan\ ^2\log 7=n,\ maka\ ^{14}\log 54\ sama\ dengan...\\ Penyelesaian:\\ \begin{align*} ^{14}\log 54&=\frac{^2\log 54}{^2\log 14} \\ &=\frac{^2\log 27\times 2}{^2\log 7\times 2} \\ &=\frac{^2\log 3^3\times 2}{^2\log 7\times 2} \\ &=\frac{^2\log 3^3+^2\log 2}{^2\log 7+^2\log 2} \\ &=\frac{3\times ^2\log 3+^2\log 2}{^2\log 7+^2\log 2}\\ &=\frac{3\times \frac{1}{m}+1}{n+1}\\ &=\frac{\frac{3}{m}+\frac{m}{m}}{n+1}\\ &=\frac{m+3}{m(n+1)} \end{align*}$

Pembuktian Rumus Logaritma

Rumus Logaritma Perkalian

Logaritma perkalian dua bilangan sama dengan jumlah logaritma dari masing-masing bilangan.
$^a\log (b\times c)=^a\log b+^a\log c$

Contoh Soal :
$\\misal\\ ^a\log b=x\ maka\ a^x=b\\ ^a\log c=y\ maka\ a^y=c\\\\ b\times c=a^x\times a^y\\ dengan\ menggunakan\ aturan\ pangkat,\ diperoleh\\ b\times c=a^{x+y}\\ menurut\ definisi\ logaritma\ bentuk\ terakhir\ menjadi\\ ^a\log (b\times c)=x+y\\ ganti\ x\ dan\ y\ dengan\ pemisalan\ awal\\ ^a\log(b\times c)=^a\log b+^a\log c$

Rumus Logaritma Pembagian

Logaritma pembagian dua bilangan sama dengan pengurangan logaritma pembilang numerus oleh penyebut numerus.
$^a\log (\frac{b}{c})=^a\log b-^a\log c$

Contoh Soal :
$\\misal\\ ^a\log b=x\ maka\ a^x=b\\ ^a\log c=y\ maka\ a^y=c\\\\ \frac{b}{c}=\frac{a^x}{a^y}\\ dengan\ menggunakan\ aturan\ pangkat,\ diperoleh\\ \frac{b}{c}=a^{x-y}\\ menurut\ definisi\ logaritma\ bentuk\ terakhir\ menjadi\\ ^a\log (\frac{b}{c})=x-y\\ ganti\ x\ dan\ y\ dengan\ pemisalan\ awal\\ ^a\log(\frac{b}{c})=^a\log b-^a\log c$

Rumus Logaritma Bilangan Berpangkat

Logaritma dengan numerus berupa bilangan berpangkat sama dengan pangkat dikalikan dengan logaritma bilangan tersebut.
$^a\log b^n=n\times ^a\log b$

Contoh Soal :
$\\^a\log b^n=^a\log(b\times b\times b\times b\times ...\times b)\ [sebanyak\ n\ faktor]\\ ^a\log b^n=^a\log b+^a\log b+^a\log b+...+^a\log b\ [sebanyak\ n\ faktor]\\ ^a\log b^n=n\times ^a\log b$

Mengubah Bilangan Pokok Logaritma

$\\Bentuk\ logaritma\ ^a\log b\ bisa\ diubah\ ke\ dalam\ dua\ bentuk\ berikut:\\\\ ^a\log b=\frac{^p\log b}{^p\log a}\\\\ Jika\ p=b\ bentuk\ di\ atas\ menjadi:\\ ^a\log b=\frac{1}{^b\log a}\\\\ Bukti:\\ misal\ ^a\log b=x\Leftrightarrow b=a^x\\ \begin{align*} b&=a^x \\ ^p\log b&=^p\log a^x \\ ^p\log b&=x\ ^p\log a \\ x&=\frac{^p\log b}{^p\log a}\\ ^a\log b&=\frac{^p\log b}{^p\log a} \end{align*}$

Rumus Logaritma Lainnya

Dari Rumus : $^a\log b^n=n\times ^a\log b$
Dan
$^a\log b=\frac{^p\log b}{^p\log a}$
Dapat Diperoleh Rumus Berikut :

$\\1)\ ^a\log b\times ^b\log c=^a\log c\\\\ 2)\ ^{a^n}\log b^m=\frac{m}{n}\ ^a\log b\\\\ 3)\ ^{a^n}\log b^n=^a\log b$

Awal Rifqi

Senin, 13 Oktober 2014

Rumus dan Sifat Logaritma

0 komentar:

Posting Komentar

Google Plus-ku

Kenal-aku

Artikel Terpopuler

Follow us on FaceBook

Kronologi Artikel

Blogger news

Labels

Blogroll